Sur l'orthogonalité

Dans une vidéo que j’ai regardée dernièrement, un électronicien expliquait quelques fondements mathématiques.
J'ai été surprise de voir comment ce monsieur pouvait expliquer, de fait, très clairement, certains des principes les plus importants de la physique.

On sait qu'en science, il n'y a pas plus beau mariage que celui qui lie la physique et les mathématiques. Il y a une raison simple à cela. Les lois de la nature seraient écrites en langage mathématique. Quoi de mieux, dans ce cas, pour expliquer les phénomènes de la nature, que de recourir aux mathématiques. Mais ce n'est pas tout. Si les lois de la nature sont écrites en langage mathématique, si les lois de la physiques sont pertinentes, en ce qu'elles décrivent effectivement les phénomènes qui nous entourent, alors il est possible que les maths, dans ce qu'elles ont de plus profond, nous apprennent des choses sur nous-mêmes. Elles peuvent inspirer une réflexion philosophique.
C'est ce que je me propose d'ébaucher dans cet article.
A partir de quelques concepts mathématiques, je voudrais montrer comment on peut, moyennant quelque effort d'abstraction, essayer de penser les choses en profondeur.

Je vais pour ce faire, m'inspirer d'un instrument incontournable, fondamental dans les mathématiques qui sont utilisées en physique, qu'on appelle les fonctions trigonométriques.
 Dans la vidéo (dont vous trouverez le lien au bas de l'article), notre homme raconte que les fonctions trigonométriques Sinus et Cosinus interviennent ultra fréquemment dans le calcul de dérivées partielles.
En physique, les dérivées partielles sont utilisées pour décrire les mouvements de fluides, ondes, gaz, etc... Ces fonctions trigonométriques sont très pratiques car leurs dérivées sont redondantes et récursives :

Exemple :
Dérivée de la fonction Cos -> -sin

Dérivée de la dérivée de la fonction Cos -> cos

Dérivée de la dérivée de la dérivée de la fonction Cos -> sin

On observe une jolie récursivité.

La fonction exponentielle  présente un phénomène semblable :

Dérivée de e^x ->  e^x -> e^{x
La dérivée est identique à la fonction.}

Il semblerait que les lois physiques que nous avons consciencieusement établies soient, en grande partie, régies par des équations Cos, Sin et Exponentielle.

Qu’est –ce que Cos et qu’est-ce  que Sin :

Sinus : à l’origine, c’est une longueur. Dans un triangle rectangle, prenons un des deux angles qui n’est pas droit, nommons-le « Alpha ». Le sinus de cet angle correspond au rapport entre la longueur du côté opposé à alpha sur la longueur du côté adjacent le plus long (hypoténuse). 

Le Cosinus de cet angle « Alpha » correspond au rapport entre la longueur du côté adjacent sur la longueur de l’hypoténuse.

Sin et Cos peuvent aussi se calculer non plus dans un triangle rectangle mais dans un cercle de rayon unité. Comme ce qui se passe dans cette démonstration est très intéressant, il faut regarder :

(Figure 1)

On prend un système de coordonnées cartésien (c’est très simple : un repère avec un axe horizontal qui représente les abscisses et un axe vertical qui représente les ordonnées). On note 0 l’intersection des deux axes. On trace un cercle de rayon 0 ; x=1, on a notre cercle de rayon unité.

Traçons une droite qui coupe notre cercle en un point p, et qui passe par le centre du cercle (qui est aussi l’origine du repère), avec p ayant pour abscisses x un nombre n comprit entre 0 et 1. (Le point p se trouve dans le quart « positif » du repère cartésien).

La droite passant par 0 et par p crée un angle avec l’axe des abscisses. Notons cet angle « oméga ».

On projette le point p sur l’axe des abscisses en p’ : on obtient une longueur 0p’ qui correspond à la valeur du cosinus d’oméga.

Pour obtenir le sinus d’oméga : on projette le point p sur l’axe des ordonnées en p’’, le sinus est alors égal à la longueur du segment  0p’’.
Ce qui est intéressant dans cette démonstration dans le cercle unité c’est que pour définir le Sinus, on « sort » du triangle qui contient oméga. On projette le point p « ailleurs » (sur l’axe des ordonnées) qui permet de former un triangle qu’on pourrait qualifier de complémentaire, et ces deux triangles forment un quadrilatère (0p’pp’’). On a deux triangles rectangles. Par construction symétrique, on peut poser l’angle oméga’ et on constate que la longueur 0p’’ correspond au sinus d’oméga' si on se fie à la première démonstration faite dans un triangle rectangle. On retombe sur nos pattes. Cela dit, d’instinct, on sent que la démonstration dans le cercle unité est plus porteuse de signification, plus exploitable, que la démonstration dans un triangle rectangle.

C’est important. Le fait de sortir du cadre, de prendre un cadre plus grand permet de comprendre plus de choses mais pas seulement. Cela permet très souvent de simplifier les choses.

Nous avons vu d’où venaient et ce qu’étaient nos Sin et Cos, voyons d’où vient la fonction exponentielle.

C’est une fonction très étrange qui  pour tout x associe un y tel que y= e^x.

On voit dans la construction géométrique suivante qu’elle a quelques propriétés intéressantes : 

(Figure 2)

en y = 1 , x vaut 0,

en y=0, x vaut e, soit environ 2.178…

Elle transforme une somme en produit

Elle est sa propre dérivée

Etc, elle a encore bien d’autres propriétés.

Voici maintenant les représentations graphiques des fonctions Sin x et Cos x :

(Figure 3)

A priori, on se dit que les fonctions Sin et Cos n'ont rien à voir avec la fonction exponentielle.
Dans le graphe ci-dessus, les valeurs sur l’axe des x sont exprimées en radians (degrés exprimées en fonction de pi) pour la simple raison qu’on travaille avec les sin et cos tels qu’on les a vu dans le cercle unité, et qui dit cercle, dit pi. (Rappel : pi est le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre).

A priori, on se dit que les fonctions Sin et Cos n'ont rien à voir avec la fonction exponentielle. Et pourtant.On va voir qu'elles peuvent être réunies.

C’est important d’avoir ces représentations en tête, de voir par exemple la différence d’évolution de la courbe sinusoïdale par rapport à la courbe qui représente la fonction cos, quand x vaut  pi/2, pi, 2pi. On sent qu’il existe une forme de complémentarité entre les deux courbes.

Un très grand nombre de phénomènes physiques qui nous entourent sont étudiés sous forme de signal. En effet, de nombreux phénomènes présentent une périodicité, une fréquence de répétitions.

Si une flûte émet un la, par exemple. Mon oreille perçoit ce son comme s’il était lisse, parfaitement continu, sans fluctuations de hauteurs. Si je branche un capteur pour connaitre la fréquence de cette note, si cette fréquence est représentée sur le petit écran d’un oscilloscope, je vois apparaître une courbe sinusoïdale. Plus le son est lisse à mon oreille, plus il est régulier dans sa période, plus la courbe sinusoïdale est régulière sur l’écran.

On appelle ce genre de signal un signal périodique.

Fréquence et période sont des rapports entre durée et amplitude du signal :

(Figure 4)

On utilise les fonctions sin et cos pour étudier les phénomènes périodiques. ( Les phénomènes non périodiques sont dits avoir une fréquence nulle et une période qui s’étend vers l’infini).
Bref.

Une grande partie des phénomènes de la nature émet un signal, en fait. Ainsi, l'étude du signal, en général, représente-t-il une grande partie de la physique.

Si je m’intéresse à ces considérations de base en mathématique, les fonctions trigonométriques, c’est qu’elles sont fondamentales. Elles interviennent partout dans les mathématiques qu’utilise la physique pour décrire les phénomènes de la nature. Cela veut dire que ces notions de sinus, de rapport de proportions autour des angles dans un cercle correspondent à une vérité ontologique vraiment très forte. La nature s’exprime en angles, pourrait-on dire, bien que ces derniers aient été portés à des niveaux de généralisation extrêmement abstraits, qui n’ont presque plus rien de géométrique (de trigonométrique, en l’occurrence).

C’est sur le processus de généralisation en mathématique que je souhaiterais maintenant m’appesantir un peu.

Rien de tel qu’un exemple pour introduire le sujet. Je le tire de la petite vidéo dont je parlais au tout début de cet article.

Sans avoir besoin d’entrer dans les détails, notre homme étudie les fonctions Cos x, Sin x et e^x à partir des séries de Taylor et voici ce qu’il obtient. Il n’y a pas à comprendre, juste à regarder :

(Figure 5)

Au signe près, on voit que la fonction (Sin x + Cos x) ressemble beaucoup à la fonction e^x.

Il est en fait possible de fusionner toutes ces fonctions en une seule, ce qu’on va voir dans un instant, après un petit détour essentiel par le concept d’orthogonalité.

On définit généralement l’orthogonalité de façon géométrique, en disant par exemple que le repère cartésien ( avec les x en abscisses et les y en ordonnées) est orthogonal car les deux axes se croisent en formant un angle droit. On dira aussi que l’orthogonalité est à l’espace ce que la perpendicularité est au plan, une sorte de projection de la perpendicularité dans l’espace à trois dimensions (qui fait que deux droites peuvent être orthogonales sans être sécantes). Cette définition ne rend pas complètement compte de ce qu’est  le principe d’orthogonalité.

En effet, l’orthogonalité, d’un point de vue plus fondamental, décrit l’indépendance qui existe entre 2 choses. Par exemple, si on reprend notre repère cartésien, on dira que les abscisses et les ordonnées sont orthogonales, parce qu’elles sont perpendiculaires, certes , mais aussi parce qu’ il est impossible d’exprimer une abscisse au moyen d’une combinaison de y, et réciproquement. Tout point du repère s’exprime Et avec  x Et avec y.

C’est aussi cela l’orthogonalité. Abscisse et Ordonnée sont orthogonales parce qu’on ne peut pas remplacer y par des x. Le rôle d’une fonction mathématique est précisément de montrer l’interaction qui existe entre deux notions orthogonales. Une fonction montre comment une notion réagit en fonction de l’autre, les variations de y par rapport aux variations de x, donc il y a un lien entre x et y mais fondamentalement, on ne peut pas supprimer l’un ou le transformer en combinaison de l’autre. La nuance est très subtile mais elle est capitale. En gros, on peut dire qu’il n’y a pas d’interaction sans orthogonalité et d’un point de vue philosophique, on touche le vertige en disant cela.

Mais n’allons pas trop vite.

Ce qui est intéressant c’est que les fonctions Sin x et Cos x sont orthogonales entre elles. Comme pour x et y dans notre repère précédent, il existe des fonctions qui les lient, mais fondamentalement, un sinus est un sinus et non pas un cosinus. Ils ne sont pas interchangeables. Si un sinus n’était pas fondamentalement différent d’un cosinus, on aurait un élément inutile sur les deux, un se répéterait et ne servirait donc à rien. Ce n’est pas encore trop compliqué à comprendre.

Reprenons nos deux  fonctions  de tout à l’heure : sin x +cos x d’une part et e^x d’autre part.

On a vu  grâce aux séries de Taylor qu’elles se ressemblaient beaucoup. Intuitivement, on se dit qu’il doit y avoir un moyen de les réunir. Et c’est le cas. Pour ce faire, il faut les « travailler » sur un autre plan, à savoir le plan complexe. Ce plan, sans trop entrer dans les détails, n’est pas très compliqué. Il demande de passer à un niveau d’abstraction un peu plus élaboré.

Plutôt que de prendre pour x des valeurs réelles ( qui sont toutes représentables sur un seul axe allant de moins l’infini à plus l’infini et sur lequel on place tous les nombres qu’on peut connaitre, les entiers , les fractions, les irrationnels (pi, e, etc), les nombres négatifs…), on va inventer quelque chose.

On sait que les nombres réels peuvent être soumis à diverses opérations comme l’addition, la multiplication, la division, etc. On sait qu’un nombre positif ou négatif, multiplié par lui-même, donne toujours un résultat positif. 2 au carré donne 4 ; (-2) au carré donne 4 aussi.

Et si on imaginait un nombre qui, élevé au carré, donnerait un résultat négatif ? par exemple un nombre i, élevé au carré, qui serait égal à (-1) ?

C’est ce qu’on a fait. Alors, en réalité, on n’a pas inventé cela pour faire joli. Non. Ce nombre i s’est en quelque sorte imposé de lui-même à une époque, comme solution d’équations  polynomiales. Comment résoudre par exemple : x² = -1 ?

C’est dans ce cadre là qu’ont été inventés les nombres imaginaires. Le nombre imaginaire i ne se trouve pas sur l’axe des réels mais sur un axe perpendiculaire à ce dernier. Sur cet axe, on trouve aussi des nombres tels que 5i, 3i, etc . Un nombre complexe est un nombre qui a une partie réelle et une partie imaginaire. Il prend la forme ai + b avec ai : partie imaginaire ; b : partie réelle, et le nombre complexe peut être représenté dans le plan complexe que créent nos deux axes, comme suit :

(Figure 6)

On a trois nombres complexes représentés dans le plan : 3 +2i ; -3+4i ; -4-3i. Ce sont des nombres à deux dimensions : réelle et imaginaire. Ils ont l’air sophistiqués et donc compliqués, mais ce n’est qu’une apparence. En fait, ils permettent de simplifier certains calculs. Regardez.

Si on introduit i, le nombre imaginaire, dans nos fonctions Cos,  Sin et exp, de tout à l’heure, voilà ce qui se passe, toujours avec nos séries de Taylor :

(Figure 7)

Les fonctions e^ix et (cos x + isin x ) correspondent quand on introduit i !

Voici la représentation graphique de e^ix :

(Figure 8)

C’est un cercle !  (fait à main levé sur le papier donc pas très centré...) Mais voilà qui est intéressant : nous avons une belle illustration de la récursivité, déjà très présente dans nos fonctions prises séparément (rappelez-vous les dérivées de Sin et Cos qui "retombent" sur elles-mêmes et la dérivée de la fonction exponentielle égale à elle-même), mais aussi dans la définition même du Sinus (rappelez-vous le cercle que l’on a construit au tout début  pour calculer le sinus de l’angle oméga). Cercle, récursivité, fréquence forment un jeu de miroir assez exceptionnel quand on y pense. Et ces réflexions récursives sont "simplifiées", ( voire visibles!) grâce à l’ajout d’une dimension supplémentaire (le plan complexe), elle-même lié à une orthogonalité fondamentale sans laquelle il n’y a plus de dimension possible...
Orthogonalité entre réel et imaginaire, entre positif et négatif, entre vertical et horizontal...

Prenons une petite respiration pour nous remettre de ces émotions.

Un verre d’eau, si vous voulez.

Et poursuivons.

Cette formule ci-dessus ( e^ix = cos x + i sin x) est très importante. Elle est à l’origine de la fonction d’onde qui rend compte de la propagation des ondes.  Elle est à l’origine des équations de Maxwell qui décrivent la force électromagnétique, force sur laquelle on va s’appesantir un instant.Cette équation est aussi un peu partout en physique quantique.

La force électromagnétique … Rappelons-nous que cette force est comprise comme un couplage entre électricité et champ magnétique, ainsi que les travaux de Faraday, Maxwell et d'autres physiciens du 19ème siècle l'ont montré. Or il s’avère que le courant électrique et le champ magnétique sont orthogonaux. Ils sont fondamentalement "différents".

Par exemple, une charge électrique est « monopole », soit positive, soit négative. Les charges positives s'attirent et les négatives se repoussent, mais une charge électrique n'a qu'un seul pôle. Par contre, le magnétisme se caractérise par une dipolarité (un aimant possède deux pôles absolument inséparables). Peut-on voir un lien entre polarisation ( monopolarité, dipolarité, interactions électromagnétiques ) et orthogonalité ?
L'orthogonalité se décline à plusieurs niveaux et toujours rend-elle compte d'une interaction. Y a-t-il orthogonalité entre les deux pôles d'un aimant ? Entre deux aimants ? Entre une charge électrique et un pôle magnétique ? Entre un courant E et un champ B ? (On a dit oui à la dernière question si vous suivez bien.)

Les équations de Maxwell réunissent électricité et magnétisme en un même corps mathématique très joliment symétrique. Encore une fois, orthogonalité et interaction semblent faire bon ménage pour peu qu’on arrive à sortir du cadre et « généraliser ».

En mathématiques, généraliser veut dire faire un saut dans l’abstraction. Pour le célèbre mathématicien  Henri Poincaré, les mathématiques consistent à généraliser, c'est-à-dire à donner le même nom à des choses différentes. Grothendieck était aussi un maître de la généralisation, subtilement appelée « catégorification » : avec lui, "la fonction devient faisceaux, le nombre devient espace, la forme devient  variété". On élève les concepts à un degré supérieur de généralisation. Et on arrive ainsi à voir des choses. Beaucoup de choses. (Voir Edward Frenkel, Amour et maths, ed. Flammarion, 2015, p202 et s.)

Il semblerait qu’il y ait un lien entre orthogonalité, interaction et généralisation. Sans doute serait-ce même là un sujet potentiel de thèse pour un doctorant en philosophie des sciences : « Subsumption de l’orthogonalité dans les processus de généralisation mathématique. » Je lui laisse le sujet bien volontiers.

Il est vrai que d’un point de vue philosophique, la notion d’orthogonalité est très intéressante dans ce qu’elle révèle sur le principe même d’ « interaction ». L’interaction est-elle possible sans qu’il y ait au préalable deux éléments fondamentalement différents qu’on voit interagir ? Quel lien possible entre interaction, orthogonalité et commutativité ?  (On pousse un peu car rien ne nous arrête, apparemment). Il existe en effet tout un pan des mathématiques récentes qui porte sur la géométrie non-commutative. « A fois B n’est pas égal à B fois A », pour dire de façon simple ce qu’est la non-commutativité.  Cette non-commutativité permet de révéler des symétries, des liens, très utiles encore en physique. Peut-on voir un lien,  même ténu, entre l’orthogonalité et non-commutativité ? … ( Je ne développe pas pour ne pas vous faire fuir davantage).

Enfin, on peut s’intéresser à l’existence des dimensions. Si on reprend notre repère cartésien avec nos Abscisses et nos Ordonnées, on voit bien que si on supprime un des deux axes, on est à plat. Horizontalement ou verticalement. On ne peut concevoir une réalité à plusieurs dimensions si l’on ne postule pas l’indépendance de certains éléments par rapport à d’autres (orthogonalité), dans un premier temps, et un jeu subtil entre ces éléments indépendants (interactions) dans un second temps (sans pour autant que toutes les dimensions interagissent entre elles). Les dimensions, quoi qu’il en soit, forment un « cadre », et cette notion de dimension est à la base du développement exceptionnel du formalisme mathématique. Prenez la géométrie Riemannienne, sans même savoir en quoi elle consiste, on a des intitulés qui disent « Concept d’une grandeur à n dimensions ». Ce mathématicien, Riemann,  a révolutionné le concept même de dimension en travaillant la notion de courbure. Grâce à  sa géométrie, on peut dire sans ciller qu’une ligne droite est courbe, si elle est conçue dans un espace à courbure positive, par exemple.Ou négative (avec le mathématicien Lobatchevski). Ces espace courbes à n dimensions sont très abstraits mais très riches de concepts. La géométrie euclidienne (valable dans un espace plat) fait pâle figure à côté des nouvelles géométries. La question du Recte et du Courbe est très vaste (et j'en connais qui écrirait des romans sur le sujet). C’est d’ailleurs grâce à ces géométries que la physique a fait tant de progrès théoriques (Relativité générale, par exemple). Je tourne un peu en rond (c’est le cas de le dire), mais cela montre que les concepts s’appellent les uns les autres. On ne peut penser la Dimension sans qu’il y ait un élément de réalité irréductible qui la fonde, aussi abstraite que soit cette réalité ou cet élément.

Juste pour faire mousser un peu mes lecteurs surement fort nombreux à ce stade de l’article J, imaginons qu’il y ait une « orthogonalité » entre le formalisme de la physique quantique et le formalisme de la Relativité Générale. Je m’explique. On sait que mathématiquement, on a pu assembler en ce qui est dénommé « modèle standard de la physique des particules», trois des quatre interactions fondamentales. Cette généralisation s’est opérée en travaillant avec acharnement sur les Lagrangiens. Chacune des quatre grandes interactions fondamentales est mathématiquement définie, entre autre chose, par son Lagrangien, peu importe içi de savoir de quoi il retourne précisément, mettons qu’il s’agit de ce qu’on appelle une optimisation de l’action).

On ne peut concilier mathématiquement le Lagrangien du modèle standard de la physique des particules ( modèle qu’on appelle QCD pour Chromodynamique quantique) et le Lagrangien de la Relativité générale. On est coincé. Y a –t-il moyen de comprendre cette irréductibilité à travers le prisme de l’orthogonalité ? On ne sait pas trop ce qu’il faudrait pour arriver à unifier les deux théories. Certains parlent de quantifier la gravitation, et c’est une excellente idée mais on n’y arrive pas… (Quantifier… je reviendrai sur ce terme). En fait, il est probable qu’il faille que la mathématique donne une fois de plus le meilleur d’elle-même et trouve comment « se généraliser », une fois de plus, et sans se disperser ( car elle sait faire les deux à la fois)… pour subsumer l’incompatibilité des deux modèles.

Quantifier la gravitation, disais-je à l’instant. Je n’ai rien à dire sur le sujet, en fait, mais c’est le terme quantification qui m’intéresse. Il est subtil lui aussi et extrêmement riche d’un point de vue  philosophique.

Pour aborder cette richesse, il faut prendre le sujet du point de vue de la question suivante : « La réalité est-elle Continue ou Discontinue ? »

Je sais, je ne vous ménage pas…

Quand on dit que la réalité est continue, on entend qu’il semble que « tout soit lié », que tout ne soit que des manifestations d’une seule et même chose, or ce n’est pas si certain. Peut-être que tout est lié, mais tout n’est pas forcément continu, même au niveau le plus fondamental. C’est en tout cas ce que la physique quantique amène à penser, à travers le concept de quantification que voici.

En gros, un quanta, c’est une quantité minimale. Vraiment très petite. Une toute petite quantité d’énergie, mettons.

Il semblerait qu’à l’échelle subatomique tout soit « quantifié » : une charge électrique est soit positive, soit négative, un spin est soit up, soit down (on parle aussi de spin entier ou spin ½)… La quantification correspond, certes, à la « quantité minimale » définie par la constante de Planck,  mais c’est aussi l’impossibilité pour une propriété de se trouver dans un état intermédiaire. Une propriété est Noire ou Blanche pour schématiser, mais pas grise.  Il règne une espèce de radicalité quantique quant aux propriétés fondamentales intrinsèques des particules élémentaires.

Ce qui est amusant ensuite, c’est que cette radicalité quantique fondamentale est par ailleurs complètement subsumée (j’aime bien ce terme) dans les principes de superposition et d’indétermination. Par exemple, une particule peut avoir son spin dans un état superposé up et down à la fois, mais le spin ne sera pas mi-up, ou quart down. La quantification, la superposition et l’indétermination posent la question du discret et du continu sous un jour complètement nouveau, en amenant à penser que l’un ne l’emportera pas sur l’autre. Que la réponse est dans l’interaction entre discret et continu, comme l’illustre parfaitement la « Superposition des états quantifiés ». Il semble qu’il existe un principe d’interaction que nous ne comprenons pas encore très bien, ou qui nous échappe, quand on essaie de marier, comme je disais plus haut, nos deux théories quantique et relativiste.

On peut voir (en tout cas je me propose de voir), dans ce jeu subtil de superposition de quantification, une forme d’orthogonalité. Par exemple : peut-on dire qu’il y a orthogonalité entre le spin up et le spin down de manière générale? On sait que les particules de spin up sont des bosons et que les particules de spin down sont des fermions. Bosons et fermions sont très différents.  Les fermions interagissent avec les bosons, cette interaction est à l’origine de la force nucléaire forte qui agit au sein des noyaux des atomes. Le boson de Higgs est constitutif du champ de Higgs avec lequel les autres particules interagissent, et c’est cette interaction qui confère une masse aux particules…

(Le spin est également l’objet quantique qui explique fondamentalement le phénomène de magnétisme. On peut même se le représenter comme un petit aimant porté par la particule élémentaire…)

La « différence » est un concept fondamental sur lequel repose tout le principe d’interaction, si on y pense. Je crois bien que l’orthogonalité mathématique pose le concept de différence comme élément fondamental de la réalité. Et ça, mes amis, c’est très très fort si on se donne la peine d’exploiter l’idée dans un élan de bonne volonté. Toutes ces circonvolutions pour nous amener à réfléchir sur la notion de différence ontologique !  Et oui. La différence comme concept mathématique, comme élément fondamental régissant les phénomènes de la nature.

Si on prend le mot "différence" et qu'on lui retire le vernis de sens que nous lui donnons par habitude sans même y penser, qu'avons-nous? Nous avons "di", soit deux, et "férence", comme dans interférence... La différence, c'est le croisement de la dualité, le lieu où la dualité se rencontre. Comme s'il ne pouvait y avoir de "un" sans "deux", comme s'il ne pouvait y avoir de continuité dans discontinuité, d'unité sans parité. De véritable unité sans différence fondamentale. Je vous laisse méditer là-dessus.

Voici les liens vers les documentaires qui ont inspiré cette réflexion :

Sur les fonctions sin et cos : Fonction trigo (vidéo amateur très synthétique pour une première approche, par JiPiHorn. C'est dans cette présentation que le monsieur, à un moment, parle d'orthogonalité, et c'est à partir de ce moment qu'est venue la réflexion que vous venez de lire...)
Villani et les maths de la chauve-souris (Cédric Villani, mathématicien, conférence donnée à des lycéens à Strasbourg, 2014)

Sur les aimants et leurs incroyable fonctionnement (spin!) (par Julien Bobroff, physicien, Les aimants sont quantiques, Conférence Unisciel 2015 )

Sur les lagrangiens (par Kirone Mallick, physicien au CEA, Les émerveillements d'un théoricien, conférence Cyclope 2011)

Sur la physique quantique en générale  (Conférence par Etienne Klein, physicien et philosophe des sciences, 2008 )

Livres:

Keith Devlin, Les énigmes mathématiques du 3ème millénaire, ed. poche Le Pommier, 2007; chapitre 4 sur les équations de Navier-Stokes, le calcul différentiel, la mécanique des fluides et les fonctions trigonométriques, p. 197-230.

Edward Frenkel, Amour et Maths, ed. Flammarion, 2015.

Autres ouvrages de vulgarisation mathématique :
Marcus du Sautoy, La symphonie des nombres premiers, ed. Héloïse d'Ormesson, 2005.
Marcus du Sautoy, La symétrie ou les maths au clair de lune, ed. Héloïse d'Ormesson, 2012
Simon Singh, Le dernier théorème de Fermat, ed. JC Lattès, 1998
Simon Singh, Histoire des codes secrets, ed. JC Lattès, 1999

Blogs sur les maths:
Chaine Youtube de Numberphile ( en anglais)
Chaine Youtube d'El Jj (très très bon blog en français )  : Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes.

Mes trois étoiles et Bételgeuse.

Voici ZED. Zêta, Epsilon et Delta Orionis, les trois étoiles qui constituent la ceinture d’Orion, dans la constellation d’Orion. Ces trois étoiles sont actuellement visibles dans le ciel nocturne et en Amérique latine, on les surnomme les Trois Maries. Autre appellation donnée à chacune de ces trois étoiles : Alnitak, Alnilam et Mintaka, dérivée de l’arabe. Depuis la nuit des temps, elles constituent un astérisme, c’est-à-dire une figure remarquable dans le ciel entre des astres qui ne sont en fait liés par rien de spécial d’autre que, eh bien, le fait de nous apparaître liées. Les astres d’un astérisme ne font pas forcément partie d’un même système, ils ne sont pas liés par une interaction gravitationnelle, les distances qui les séparent respectivement  de nous peuvent être totalement différentes, etc. Dans le cas de ZED, les trois étoiles appartiennent toutes à la même constellation (celle d’Orion) mais ce n’est pas le cas des quelques autres astérismes que nous avons inventés en levant le nez vers les étoiles. La notion d’astérisme est un bel exemple de figures anthropocentriques. Pour ma part, ces trois étoiles sont les premières que j’ai systématiquement reconnues quand j’étais petite, sans savoir que depuis toujours elles avaient intrigué et inspiré les hommes de toutes les civilisations. Je les prenais pour mes porte-bonheurs, ce qu’elles ne cesseront pas d’être. J’avais jusqu’à présent fait de très timides recherches pour identifier ces étoiles car je voulais qu’elles restent « mes trois étoiles ». Je me disais qu’elles ne seraient plus « miennes » si je connaissais leur nom et si je découvrais à quelle constellation les rattacher. C’est par hasard que je viens de le découvrir pas plus tard que ce matin en regardant une conférence sur l’astronomie des Anciens ( donnée par Yaël Nazé). Dans la constellation d’Orion, au nord de Zêta Orionis (Alnitak), se trouve Alpha Orionis, encore appelée Bételgeuse. Cette étoile est une des plus brillantes de notre galaxie. Encore une fois, petite, le nom de Bételgeuse me fascinait et me faisait rêver mais je n’avais aucune idée de comment trouver cette étoile dans le ciel. Je découvre avec une douce surprise que Bételgeuse a toujours été juste au-dessus de mes trois étoiles fétiches sans que j’en aie jamais eu la moindre idée.

(Voir "Un amour d'étoiles" , post de février 2015) !! ;)

L'échelle

Voici un texte tiré d'un ouvrage de fiction que je suis en train de rédiger. C'est une digression qui ne fera pas partie du texte final, donc je le propose ici.Il s'agit d'une discussion philosophique entre un vieil homme étrange, Javolén, ( un transpasseur qui voyage entre plusieurs dimensions) et le personnage principal, Samuel, jeune père de famille.

L'échelle

- Peut-être pourriez-vous me dire brièvement de quoi parle cette formule, cette équation ? Ca ne m’aidera pas à la comprendre mais cela pourrait … m’aider… à infléchir ? demanda Samuel.

- Cela ne vous fera pas de mal, en effet, répondit Javolèn en brandissant la petite feuille sur laquelle était écrite la formule d’Ettore Fonticelli, de savoir que le principe de toute équation mathématique est de transformer une chose en une autre sans fondamentalement la changer. Toute équation décrit un procédé, un phénomène, et met en évidence un jeu de symétrie qui nous révèle ce qui se conserve, ce qui se transforme au cours du procédé et comment cela se passe. Qu’est-ce qui se transforme dans la conservation, qu’est-ce qui se conserve dans la transformation. Cette équation particulière, la vôtre, décrit une interaction bien singulière entre le tangible et l’intangible.

- En fait, vous êtes en train de me dire qu’une transformation est une conservation, et vice –versa… Rien ne se perd, tout se transforme… Tout se conserve, tout se transforme… Je vois… Et les mathématiques étudient ce truc…

- Si vous voulez. Ce truc, comme vous dites, et que j’appellerais pour ma part le principe de conservation et de transformation, a des conséquences dont vous ne pouvez pas soupçonner l’existence. C’est un principe absolument fondamental. Il sous-tend toute la réalité qui nous entoure, vous et moi. Il rend compte de ce qui est, et plus encore, de ce qu’est être. En cela, c’est un principe ontologique. Vous comprenez ces mots : « principe », « ontologique » ? Ce sont des hommes de votre espèce qui les ont façonnés, je n’invente rien.

- Oui, je… j’ai déjà du les entendre. Vous dites : « il rend compte de ce qu’est être »… Ca, je… j’ai du mal.

- Je veux bien vous aider à comprendre cela mais il va falloir vous accrocher.

- Allez-y, je ferais ce que je peux.

- Vous – quand je dis « vous » je parle des hommes de votre espèce, vos contemporains, etc…, je ne vous vise pas personnellement. Jusque là vous me suivez ?

- N’exagérez pas s’il vous plait. Je ne suis pas complètement abruti.

- Vous, les hommes donc, avez posé l’idée que les choses sont, qu’elles existent. Elles sont là, palpables, autour de vous. Vous pouvez les voir ( il écarquilla grand les yeux), les sentir ( il inspira bruyamment), les toucher (il tapota le bureau), les comprendre ( il plissa les yeux et serra ses mains sur ses tempes), vous avez donc décrété qu’elles existaient. Mettons que vous vous penchiez pour arracher un brin d’herbe au sol, vous constatez que vous avez un brin d’herbe dans la main, et que ce brin d’herbe existe donc, d’une façon absolue, générale. « C’est un brin d’herbe », diriez-vous. Or, ce que vous avez dans votre main est un brin d’herbe mais seulement pour vous, les hommes. Pas plus.

- Jusque là je vous suis, je vous rassure.

- Même si vous ne savez pas ce qu’est un brin d’herbe, - de quoi il est fait, comment il est fait, etc- vous lui octroyez une pleine existence. Vous ne savez pas ce qu’il est mais vous en déduisez qu’il est. Vous me suivez ?

- On ne sait pas ce qu’il est… si, on sait de quoi est fait un brin d’herbe…

- Et savoir de quoi est fait un brin d’herbe c’est savoir ce qu’il est ?

- Eh bien...

- De quoi est fait un brin d’herbe ? Je vous le demande.

- Moi personnellement je n’en sais rien mais je suppose qu’il est fait de petites particules qui interagissent à une échelle microscopique, créant des rapprochements qui donnent des atomes, qui forment ensuite des cellules…

- Et ?

- Et je crois que c’est tout. On sait aussi qu’un brin d’herbe est une forme de vie végétale…

- Ca veut dire quoi « une forme de vie végétale » ?

- Il nait et il meurt. Et entre les deux il vit…

- Et qu’est- ce que vivre, Samuel ?

- Vous me posez de ces questions…

- Concentrez-vous.

- Vivre, dit –il en soupirant et en plongeant son regard dans le plafond. C’est être vivant… Etre… c’est exister ? proposa-t-il à Javolèn.

- Si vous voulez. Disons que vivre, c’est exister. Alors voyons… Comment vous faire comprendre…

- Est-c’…

-Shhht ! Je réfléchis….

Javolen faisait les cent pas entre la porte et le bureau, accompagnant la déambulation de quelques gestes manuels dépourvus de sens. Plusieurs minutes s’écoulèrent dans un silence dense. Un silence concentré.

- Oubliez-tout. Imaginez, Samuel, une longue droite qui part d’en bas et qui va vers le haut.

- Verticale…

- Cette droite est infinie, vous n’en voyez donc aucune extrémité, ni en haut ni en bas, et ne pouvez d’ailleurs pas savoir si elle en a. Vous y êtes ?

- J’y suis…

- Il y a une section de cette droite qui est dans votre champ de vision. Le reste disparait de part et d’autre de ce champ, il s’évanouit dans l’inconnu. D’accord ?

- D’accord…

- Concentrez-vous sur un des deux passages de la section visible à la section invisible. En haut ou en bas, peu importe. Ce passage est diffus, en ce sens que si vous cherchez à trouver le point de cette droite qui soit le dernier visible, vous aurez beau vous approcher pour regarder de près la droite, vous ne ferez que constater que la droite de devient jamais invisible. Est-ce que vous me suivez ?

- Je crois que oui…

- Bien. Ne prenons maintenant que la section visible de cette droite. C’est elle que l’on va graduer pour en faire notre échelle. Vous y êtes ?

- Que la section visible, d’accord…

- Mettons tout en bas de cette échelle ce qui pour nous a un faible degré d’existence. Qu’y mettriez-vous ?

- Un faible degré d’existence… Je ne sais pas… La mort, un caillou, le vent.

- Soit. En haut on place ce qui pour nous a un fort degré d’existence. Qu’y mettriez-vous ?

- Un fort degré…  Je ne sais pas… Dieu ?

- Vraiment Samuel ? Vous plaisantez.

- Non, mais je ne sais pas ce que vous entendez par degré d’existence !..., s’excusa Samuel sincèrement ennuyé.

- Degré de réalité, Samuel. Qu’est-ce qui vous semble réel !

- Réel… Dans ce cas, je mettrais la mort, le caillou et le vent assez haut sur l’échelle, et Dieu tout en bas…

- La mort, le caillou et le vent assez haut, et Dieu tout en bas. Soit. Sur cette échelle, placez-moi le brin d’herbe.

- Je le mettrais vers le milieu.

- Et votre propre personne ?

- Un peu au-dessus.

- Où me placeriez-vous, moi ?

- Vous ? C’est compliqué… Vous m’avez l’air bien réel et en même temps j’en doute, vous êtes … vous venez d’ailleurs. Je vous placerais à côté de l’échelle.

-  Vous me placeriez où à côté de l’échelle ? Vers le haut ? Vers le bas ? Près de l’échelle ? Loin de l’échelle ?

- Arggh je n’en sais rien !

- Détendez-vous Samuel. Fermez les yeux, concentrez-vous et prenez votre temps. Où me placeriez-vous ?

Samuel poussa un long soupir, ferma les yeux et s’enfonça dans son fauteuil.

- Je… vous placerais… en haut et en bas. Je vous placerais… pas vraiment sur l’échelle mais juste à côté, comme si vous la teniez par la main. Mais je vous vois en haut et en bas à la fois.

- Où placeriez-vous le rêve de cette nuit ?

Nouveau soupir. Samuel restait concentré, les yeux toujours fermés.

- Je crois que le rêve serait comme … le fond. Je veux dire l’arrière –plan. Ce en quoi passerait la droite… il envelopperait tout.

- Vous voyez, cet exercice vous oblige à vous interroger sur le degré de réalité des choses qui vous entourent, et donc sur ce qu’est, pour vous, la réalité. Inconsciemment, vous avez cette échelle en vous, et vos compatriotes aussi ont chacun la leur. Je vous ai un peu forcé à regarder la vôtre mais si on regardait les échelles des uns et des autres de vos compatriotes de fortune, on constaterait qu’elles sont assez semblables entre elles.

- C’est fort probable…

- Continuons. Imaginez maintenant que toutes les droites graduées de vos compatriotes se superposent en une seule droite. Par exemple, imaginons que vous ayez tous placé le caillou au même endroit sur la droite. Le point ressort donc davantage à vos propres yeux ainsi qu’aux yeux des autres. Vous en déduisez donc tous, en tout cas une grande partie d’entre vous, que le caillou a non seulement le degré d’existence que la droite indique, puisque vous l’avez tous placé à ce niveau sur la droite, mais vous en déduisez également que le caillou possède, en lui, un degré d’existence propre, puisque vous avez tous cherché à le placer, lui, ce « caillou », sur votre droite. Vous me suivez ?

- Ca devient subtil mais je tiens bon. Je vous suis.

- Parfait. Alors je vais vous poser une question, Samuel. Ecoutez-moi bien.

Il marqua une pause et regarda le jeune homme droit dans les yeux. Il formula sa question  très lentement :

- Quel est le degré d’existence d’un caillou ?

- Mais…  on vient de le dire, non ?

- Absolument pas, Samuel. Vous réfléchirez à cette question et me trouverez la réponse. Alors nous pourrons poursuivre cette aimable conversation et je vous parlerai de Fonticelli et de son fabuleux article sur la Concrétion de l’invisible.

- Tout un programme... murmura Samuel en clignant des yeux, comme s’il cherchait à réajuster son regard.

[…]

- J’ai la réponse à votre question. Elle est en fait assez simple, dit Samuel.

- Bien. Je vous écoute.

- Je reprends votre droite, ou plutôt la mienne, mon échelle de valeurs à moi, sur le degré de réalité que j’accorde aux choses qui m’entourent. Je me suis demandé en fonction de quoi je décidais de placer le caillou ici plutôt qu’ailleurs, plus haut ou plus bas. En fonction de quoi je déterminais le degré de réalité d’un caillou. Pour m’aider à réfléchir, je suis allé me promener au parc et j’en ai ramassé un petit au bord d’un sentier. Un petit caillou que j’ai tenu entre mes doigts. Je l’ai regardé assez longuement et j’ai alors compris que c’était parce que je le tenais entre mes doigts et que je pouvais le voir, que je lui accordais un degré d’existence. Cependant il m’a été impossible d’évaluer ce degré. Impossible de dire si le caillou était très existant ou peu existant. Il me semblait à la fois très réel et insignifiant.

Il marqua une pause.

- Poursuivez.

- C’est tout. J’ai été incapable de le situer sur ma propre échelle. Je sais donc encore moins quel est son propre degré d’existence.

- Alors je vais vous aider. Supposons que vous soyez obligé de situer le caillou sur votre échelle. Vous devez lui choisir une place, peu importe laquelle.  Tout de suite, sans réfléchir, placez le caillou sur votre échelle.

- Maintenant ?

- Peu importe cette place, vous devez trancher. Maintenant !

- D’accord.

- Bien. Où l’avez-vous mis ?

- En bas.

- Dites moi pourquoi ?

- Parce que le caillou n’a pas d’importance. Je marche dessus, ce n’est qu’un gravier. Il n’a aucune utilité.

- C’est fascinant n’est-ce pas ?

- Quoi donc…

- Mais cela, ce qu’on vient de faire. S’il n’y a pas d’urgence, vous êtes incapable d’évaluer le degré d’existence qu’un caillou a pour vous. Par contre, sous la pression, vous avez tranché. Vous l’avez placé au bas de l’échelle. Est-ce que cela vous permet de me dire maintenant quel est le degré d’existence d’un caillou ?

- Eh bien…non. Je n’en sais toujours rien.  Parce que j’ai tranché dans l’urgence. En fonction, finalement, de la place qu’a un gravier dans mon monde.

- En fonction de l’utilité que vous lui trouvez.

- Mais cela ne me permet pas de savoir en vrai…

- Parce que vous n’avez pas un critère objectif. Mettons que tous vos compatriotes tranchent ainsi, comme vous venez de le faire, en fonction de ce même critère, dans l’urgence.

- Eh bien cela ne change rien, dit Samuel. On ne peut toujours savoir quel est, objectivement, le degré d’existence d’un caillou. Le critère d’utilité est un critère qui nous est propre, à nous, et il n’a rien à voir avec le caillou. Il faudrait trouver un autre critère…

- Un critère que vous n’avez pas. Je suis fier de vous, Samuel. On est précisément là où je voulais que vous veniez. Je vais maintenant prendre le relais.  Je pourrais biensûr continuer à vous guider comme je viens de le faire pour que vous découvriez par vous-même ce que je vais maintenant vous dire, mais cela prendrait trop de temps et j’ai très faim.  Je vais vous raconter quelques petites choses, si vous voulez bien.

- Je vous en prie, mais ne soyez pas trop…

-Trop quoi ?

- Bah ne soyez pas trop… là- haut.

- Où ça…

- Bon bref, allez-y.

- Le critère d’utilité que vous avez mentionné est un critère de survie. Il est légitime,  Samuel. Il vous permet de classer les choses qui vous entourent, des choses avec lesquelles vous avez un contact plus ou moins immédiat. Il y a donc, d’une part, ce critère d’utilité qui vous façonne mais il y a aussi un critère d’urgence qui peut exercer une pression plus où moins forte  sur votre discernement, en fonction de la menace qui pèse sur votre vie. Vous me suivez ?

- Il y a d’un côté un besoin vital de savoir ce qui est utile ou pas à ma survie, d’un autre côté  une urgence vitale plus ou moins forte qui me pousse à choisir, plus ou moins rapidement, ce qui m’est utile ou pas. D’accord.

- Si l’urgence est maximale, que votre vie est terriblement menacée, que la panique est totale, voilà à quoi ressemblera votre échelle : Il n’y a que vous dessus. Si l’urgence est beaucoup moindre mais que votre survie reste une préoccupation majeure (trouver à manger, trouver un abri), des choses vont apparaitre sur votre échelle mais vous serez toujours au sommet.

- C’est horrible ce que vous dites, on est des monstres d’égoïsme !

- Pas du tout, Samuel. C’est un principe de survie naturel présent en tout être vivant, humain ou pas. Cela n’a rien d’égoïste. Quand une vie est menacée, elle se place au centre de son univers, de façon instinctive. Appelez-cela un élan vital. C’est une force extraordinaire qui lui permet de survivre, vous comprenez ? Sur-vivre ? C’est absolument fascinant. Cependant, ce principe de survie – c’est le principe de vie, en fait- ce principe peut devenir, comme vous le suggériez, une monstruosité.

Il marqua une pause. Il sentait le cœur de Samuel battre fortement dans sa poitrine. Javolèn poursuivit.

- Cela devient une monstruosité, Samuel, lorsque l’on conserve cette échelle de valeur alors qu’il n’y a aucune menace qui pèse sur notre vie. Depuis qu’elle est apparue sur Terre, l’humanité a consciencieusement travaillé son environnement pour gagner en sécurité. Une sécurité toute relative mais suffisante cependant, pour écarter raisonnablement un danger constant de mort imminente, vous êtes d’accord.

- Oui…

- Votre espèce a travaillé son environnement et cet environnement l’a travaillée en retour, cela se faisant autour de ce besoin vital de survivre et s’étalant sur une période de plusieurs milliers de milliers d’années, car vous n’êtes pas nés d’hier, Samuel, vous le savez.

- « travaillée en retour ? »

- Bien sûr. A force de ne tout voir qu’à travers le prisme de l’utilité immédiate, vous finissez par ne plus rien voir autrement qu’à travers ce prisme. Il y a une sorte de rétro-projection entre l’homme et son environnement. Mais bon. Comme tout être vivant sur cette terre et ailleurs, vous avez un peu plus que le principe d’utilité dans votre sac à malices. Et lorsque votre vie n’est pas menacée, ces autres capacités, ces autres manières de voir, peuvent se révéler. Croyez-moi, elles se sont révélées très tôt dans l’histoire de l’humanité. Il y a eu des époques et des endroits sur Terre où les échelles de valeurs de certaines communautés, parfois de très grandes communautés, étaient d’une beauté exemplaire, élaborées autour de principes esthétiques, ou d’altruité, et souvent élaborées de manière inconsciente ! Vous rendez-vous compte ?

- Altruité ?

- L’altruité oui. Vous ne connaissez pas, c’est vrai. Ou plutôt vous ne connaissez plus. Il s’agit d’une forme d’altruisme un peu plus poussé, entremêlé de télé-empathie… Où en étais-je... Je disais que certaines communautés avaient réussi à travailler consciemment son échelle de valeur autour de principe non-utilitariste, au point que, même inconsciemment, cette échelle intériorisée les guidait dans leur rapport au monde qui les entoure. Vous comprenez ?

- J’essaie…

- Ces échelles de valeur, Samuel, étaient enchantées, d’une certaine façon. Et cela était incroyable. Savez vous qu’il existe un musée – c’est comme cela que vous appelez ce genre d’évènements- un musée où l’on conserve vos plus belles échelles de valeurs ? Il ne se trouve pas dans votre réalité, Samuel, cependant je pourrais vous le faire voir, un jour.

- Vous dites que vous pouvez observer les échelles de valeurs des individus ? Vous les conservez dans un musée ?...

- Pas celles des individus, cela n’a aucun intérêt, mais celles des communautés. Et toutes les communautés sont liées entre elles. Dans l’espace – géographique- mais aussi dans le temps, et l’on peut voir les échelles évoluer sensiblement d’une communauté à une autre, en fonction de l’aire géographique et en fonction de l’ère …

- …temporelle. C’est vraiment dingue. Mais vous me parliez de monstruosité il me semble…

- Exact, Samuel. J’y viens. Ce qui est monstrueux, c’est de garder une échelle de valeurs inspirée par son instinct de survie alors que la vie n’et pas menacée. Ce qui est monstrueux, c’est de se laisser guider par cette échelle sans en avoir conscience. Je veux dire qu’il y a un travail de construction à faire. Chercher son échelle, la comprendre, l’interroger, la défaire, la refaire… Vous comprenez ?

- Je crois…

- Chaque homme doit faire ce travail. Vous le pouvez. Mais vous ne le faites pas. Ou pas suffisamment. Le mécanisme s’est enraillé. L’échelle de valeur de votre communauté s’est désenchantée. Le principe d’utilité pourtant si important continue de vous guider. Il est devenu un principe d’exploitation et de domination à l’égard l’environnement et à l’égard des autres communautés. Vous percevez en majorité l’autre et votre environnement à travers ce prisme. Alors que votre vie n’est pas menacée !  Comprenez- vous ?

- Pas vraiment. Je n’ai pas l’impression de vouloir tout soumettre à mon bon plaisir. Et il me semble que nous avons des valeurs, de grandes valeurs de liberté, de droit…

- Elles sont fictives. C’est un verni. C’est valeurs ne façonnent pas votre rapport à la nature. Votre échelle est inconsciente, Samuel. Regardez ce qui s’est passé tout à l’heure avec le caillou.

- Il y avait urgence… je l’ai placé en bas. Sans réfléchir…

- Précisément. Il y avait urgence, je vous ai pressé, mais votre vie n’était pas menacée.

- Mais avant cela, je vous ai dit que je ne savais pas où placer le caillou sur mon échelle.

- Mais vous l’avez placé, Samuel, parce que l’échelle existe dans votre inconscient.

- Je croyais que le principe d’utilité ou de survie était normal. Que c’était un instinct vital. Vous l’avez dit vous-même.

- Oui Samuel. C’était normal avant, il y a quelques dizaines de milliers d’années, quelques siècles. Ce principe était décisif sur l’échelle globale des valeurs de l’humanité. Mais il a toujours cohabité avec d’autres principes esthétiques façonnés de temps en temps par quelques communautés. Or le temps a passé, si je puis dire. Vous avez évolué, oserais-je même avancer. Je veux dire par là qu’on peut penser que l’humanité est maintenant capable de ne plus se laisser guider par un instinct primaire de survie. Vous êtes maintenant capables d’un peu plus de discernement. Vous devriez savoir ce qui, dans votre tête, est le fruit d’une réflexion, d’une inflexion, d’un instinct, d’une intuition, vous comprenez ? Les idées dialoguent avec les sensations, les émotions, les impressions. Vous en êtes capables, c’est d’ailleurs ce qui fait de votre espèce une communauté profondément admirable. Vous ne devriez plus concevoir le monde à travers un prisme utilitaire. Votre instinct de survie devrait être relégué à l’arrière-plan, voyez-vous.  J’aurais aimé, par exemple, que dans l’urgence vous placiez le caillou en haut…

- Mais je l’ai placé en haut, souvenez-vous ! Au tout début de notre discussion ! Je l’ai placé en haut.

- Calmez-vous Samuel. Je le sais, j’étais là. Et en effet, quand je vous ai demandé quel degré de réalité ce caillou avait pour vous, vous avez répondu « très réel », avec une certaine innocence que j’ai trouvée touchante, je vous l’avoue. Il y a de l’espoir quelque part, Samuel. Mais au niveau de la communauté, depuis deux ou trois siècles, le principe d’utilité revient en force. Il détermine la façon dont vous concevez votre environnement et cette façon « contamine » de plus en plus d’échelles. Si bien que votre monde, le monde des hommes, se désenchante.

- Pourquoi ce mot : « se désenchante » ?

- Je vous en ai déjà parlé : trop de réflexion, pas assez d’inflexion. Trop de rationalité, pas assez d’imagination.

- Il y a pourtant beaucoup d’art, de créativité, de fantaisie dans notre monde…

- Mais est-ce cela qui conditionne principalement votre rapport à l’environnement ? Qui conditionne fondamentalement votre façon de le percevoir et de le toucher ?

- Je ne sais pas.

- C’est la peur, Samuel. Une peur atavique. Une peur ancestrale qui façonne un rapport utilitariste au monde. Monde qui en retour ne s’affiche à vos yeux que sous une forme de plus en plus matérialiste. Voilà pourquoi je parle de désenchantement.

- Comment a-t-on pu en arriver là…

- C’est un long processus qui recouvre l’histoire de l’humanité. Un mouvement incessant de balancier entre la peur et la confiance, l’émerveillement et la méfiance, l’humilité et l’orgueil…

-Il n’y a pas vraiment de coupable alors, pas de nom à retenir, d’effigie sur laquelle tirer avec mes petites fléchettes…

- Non. Vous êtes tous ensemble. Tous coupables, tous victimes. Pas un homme n’a plus de valeur qu’un autre à nos yeux. Vous êtes un corps.

- Peut-être pourriez-vous me donner un exemple de critère à partir duquel établir une échelle de valeur moins utilitariste ?

- Surement pas.

- Et pourquoi cela ?

- C’est la pire des choses à faire : vous donner des réponses. Non. Sûrement pas. Soyez un homme : réfléchissez, infléchissez, rêver, imaginez, sentez. Vous trouverez par vous-mêmes et pas autrement. Votre espèce a des capacités insoupçonnées. Dans votre tête. Développez-les. Soyez à la hauteur de votre condition.

- Mais par où commencer…

- Par là : vous êtes en danger. L’humanité est menacée. D'où vient la menace ? De l’humanité elle-même. L’homme moderne se méconnaît. Il se trompe sur sa place, sur sa valeur, sur ce qu’il est. L’homme est ainsi devenu sa plus grande menace et ce qui peut vous sauver est exactement ce qui a toujours été perçu par vous comme votre plus grande menace – même bien après avoir cessé d’en être une, comme ce fut effectivement le cas en des temps immémoriaux – je parle de la nature et de ses forces invisibles. Je parle de ce que vous avez en vous et que vous ne voulez pas voir.

- Et vous pensez qu’on peut changer les choses ?

- Oui, Samuel, tout est possible.

- On peut changer notre échelle… trouver un autre critère…

- Cessez de chercher un critère objectif. C’est une fuite en avant. Vous n’en trouverez pas. Cherchez à savoir qui vous êtes. Laissez-vous tenter par l’invisible. Il a autant de réalité que le visible. Faites-lui une place. Fabriquez-lui un sens. Un sens nouveau. Inédit. Inventez-lui quelque chose.