( A l'origine, ce texte était adressé à un ami, mais il dresse un bilan assez complet de mes réflexions mathématiques, c'est pour cela que je le partage sur ce blog. Mis en ligne en janvier 2017)
Le 8 avril 2016:
Le 8 avril 2016:
Tout commence dans les choux :
J’ai découvert un petit blog sur les maths absolument fascinant et je vous suggère d'aller y jeter un oeil. Rien que le nom est prometteur… « Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes », tenu par un jeune professeur agrégé et passionné. Il y parle de multiplication de nombres complexes avec modules et arguments, des nombres transfinis de Cantor, de la théorie des graphes, suite de Conway, ensembles de Mandelbrot, hypothèse de Riemann et plein d’autres choses, et il s’adresse à un jeune public assez averti. Il est aussi spécialisé en topologie et ses explications sont franchement claires…
Voici quelques liens vers celles que j’ai préférées :
https://www.youtube.com/watch?v=IsKBRj6_VSs (suite de conway)
https://www.youtube.com/watch?v=Y4ICbYtBGzA (Mandelbrot et nombres complexes)
Pour Riemann, il s’inspire, me semble-t-il de cette intervention rapide d’Edward Frenkel, un jeune mathématicien qui a écrit un super bouquin "Amour et Maths", vraiment génial :
Frenkel bosse sur le programme de Langlands et dit des trucs vraiment passionnants.
Bref.
Il y a quatre ans, quand j’ai ouvert pour la première fois un livre de maths, je me suis amusée avec la suite dite de Conway (1, 11, 21, 1211, 111221, etc…). Dans la vidéo de Choux romanesco, notre jeune homme montre que cette drôle de suite développe une cohérence qui se rapproche du classement périodique des éléments de Mendeleïev, c’est vraiment incroyable. La graine de la suite (1 par exemple), permet, en se développant selon la logique propre à ladite suite, de retrouver tous les éléments de l’univers, en un sens… Je reste toujours stupéfaite de voir comment une petite audace de pensée mathématique permet de déboucher sur des considérations extrêmement puissantes en termes d’interprétation philosophique, de faire des liens absolument fantastiques.
C’est à peu près ce qui s’est passé avec mon orthogonalité, concept assez anodin en apparence mais qui (pour moi…) m’a amené à repenser de fond en comble la question ultrafondamentale du discret et du continu, déjà abordée à de nombreuses reprises dans ce blog. Avant, je pensais que le continu était une qualité fondamentale du réel et que le discret était une propriété émergente ; pire, je pensais que le discret était une projection de notre faculté rationnelle sur le réel, c’est-à-dire, notre rationalité conditionnait notre façon de percevoir le réel en éléments discrets, et qu’elle nous empêchait de saisir la continuité fondamentale sous-jacente… Il y avait une verticalité dans mon raisonnement – au fond le continu difficilement perceptible ; un peu au-dessus le discret illusoire et faussement fondamental - et c’est cette verticalité qui a volé en éclat grâce à l’orthogonalité. C’est cette petite broutille d’orthogonalité choppée au détour d’une phrase qui m’a amenée à penser à ce qu’on entend par quantification et la discontinuité fondamentale qu’elle suppose (moyennant quelques détours par le spin et l’électromagnétisme). Les deux, discret et continu, sont sur un plan horizontal désormais, avec une même réalité bien propre et bien fondamentale, un degré ontologique comparable. A partir de cela, cette orthogonalité m’a permis de penser l’ « interaction » et la « différence », de manière très minimaliste.
J’essaie de comprendre ce que l’on sait, bien sûr. Je n’invente rien donc il faut être indulgent (et exigeant à la fois) avec moi. J’invente dans Mathae.
Mathhhaï !! :
Je vais donc créer un personnage dans Mathae , le Concept Orthogonalité ( ou peut-être un autre nom pour dire la même chose), qui intervient dans la Controverse de Pi. Cette controverse, à la façon de Valladolid,- une espèce de grand débat sur les hauteurs de l’Arpentae-, pose la question de savoir si l’espace est Recte ou Courbe. D’un côté on a les tenants du Recte, notamment les polygones, de l’autre les tenants du Courbe, la courbe et le cercle et pi, entre autres, et Orthogonalité vient calmer les égos des uns et des autres en les renvoyant dos à dos. La plupart des entités, en fait, observent bien sagement ce qui se passe afin de simplement avoir la réponse à la question et agir en conséquence. Mais il suffit d’une entité contrariée pour foutre en l’air tout l’univers !... Quel drame.
Quand on pense qu’en topologie, un carré et un cercle sont une seule et même forme ! Mais je m’égare, la topologie arrivera bien plus tard.
Géométrie quantique : quelle hérésie !
Cela dit, j’ai encore compris autre chose tout dernièrement. Tu te souviens de cette phrase qui me laissait perplexe : « la théorie quantique empêche toute géométrisation du monde » ? Tu te rappelles que je t’avais posé la question au sortir d’une conférence donnée à Annecy sur les ondes gravitationnelles. Tu m’avais répondu : « Et pourtant c’est vrai » et j’avais froncé très forts les sourcils. Eh bien je crois avoir compris où était mon erreur.
Je n’avais pas saisi qu’en fait, on distingue clairement la géométrie de la topologie. Je pensais que la topologie s’inscrivait dans la géométrie et ne faisait que l’abstraire un peu plus. Or ce n’est pas cela. Les propriétés fondamentales de la géométrie, comme les concepts de longueur, distance, volume, taille, position, etc, n’existent plus en topologie. Seule la forme compte, mais une forme définie selon des critères non-géométriques, comme la boucle, la connexité et une liste interminable de mots qui finissent en « morphisme ». La topologie n’est pas géométrique, pourrait-on dire. Or dans la phrase susmentionnée qui me contrariait, par géométrie, j’entendais topologie. « La physique quantique interdit toute topologisation du monde ». Là, si tu me dis que cette phrase est vraie, je quitte mon boulot de vendeuse de chaussures, prends un studio dans une petite ville perdue comme par exemple Aix les bains, je me mets à étudier jour et nuit et t’envoie 153 mails par jour.
La topologie est un champ mathématique bien plus adapté au monde quantique qui a bien raison de ne pas se soumettre aux critères géométriques (position, longueur, distance…). Les surfaces ou espaces « finis sans bords », par exemple, sont bien plus pratiques. Comme ce ruban de Moebius à un bord que j’ai tatoué dans la nuque, ou la bouteille de Klein qui est son grand frère gonflé sans bord et pétris en quatre dimensions. J’ai trouvé un site internet où un savant un peu fou fabrique des bouteilles de Klein en 3D. Il fait de magnifiques carafes à vin de Klein, peu pratiques à utiliser mais super amusantes. Il t’en faut une si tu n’en as pas encore.
Donc on utilise la topologie en physique quantique, me dis-je, mais ce n’est que supposition.
Topo Vs Topo :
Par contre, il me semble que les physiciens travaillent sur la topologie que pourrait avoir, à une autre échelle du réel, l’univers observable.
Si l’on déterminait cette topologie de l’univers observable, et donc de la gravitation ; si l’on disposait de même d’un modèle topologique quantique, on pourrait travailler sur ces deux topologies (probablement orthogonales) et voir comment l’une est un miroir déformé de l’autre (auquel cas elles ne sont pas si orthogonales que cela), ou bien voir les interactions qui sont possibles entre ces deux topologies. Sans forcément les unifier en un seul modèle, on pourrait trouver le lien qui les unie l’une à l’autre sans jamais les confondre l’une en l’autre. L’interaction fondamentale. Bref. Je me dis que ce doit être à peu près cela qu’on cherche dans les labos théoriques.
Comment l’espace-temps quantique « devient » l’espace –temps relativiste… Mais devenir, n’est-ce pas « être dans le temps et l’espace », ce qui suppose que l’espace-temps quantique soit dans le temps et l’espace, l’espace-temps relativiste… héhé, quelle belle phrase tautologique ! Et complètement fausse bien évidemment.
Retour en géométrie planplan:
Je passe du coq à l’âne. Deux petites questions. C’est pour Mathae, voici :
Imaginons qu’un segment et un arc de cercle se coupent en un point d’intersection et se prolongent chacun de part et d’autre de ce point (Comme un arc tendu et sa flèche prête à être tirée). Considérons un des quatre angles formés par cette intersection.
- Quelle longueur minimale doivent avoir les bras de l’angle pour que l’angle existe ? Autrement dit, de combien faut-il s’éloigner du point d’intersection pour qu’un angle apparaisse et soit mesurable ? Autrement dit, existe-t-il une quantification de l’angle ? (pas des longueurs, mais de l’angle. question valable pour n’importe quel angle, en fait). Un angle peut-il exister sans longueur…( peut-être que oui en topologie)
- L’intersection entre un segment et un morceau de courbe produit-elle un « angle » ou bien est-ce autre chose ? Que se passe-t-il quand les bras d’un angle ne sont pas de même nature ? Quand du droit coupe du courbe ? Est-ce qu’on se contente, par exemple, de tracer la tangente à l’arc de cercle au point d’intersection de ce dernier avec notre segment, puis de mesurer l’angle formé par le segment et la tangente qui constituent deux bras de même nature ?
Happy end et perspectives :
C’est quand même incroyable que le sinus par exemple, qui est fondamental en trigonométrie, donc en calcul de distance, et qui, à la base, n’est qu’un rapport entre un côté opposé et un côté adjacent dans un triangle, ou bien la projection d’un point du cercle unité sur l’axe des ordonnées d’un repère cartésien, juste ça, intervient partout, dans la physique la plus compliquée ! La plus prolifique surtout avec Fourrier, Navier-stokes, Maxwell, la fonction d’onde et la physique quantique: tout part du signal, le signal a été sinusoïdalisé, et pouf, badaboum paaaf ping, on découvre des merveilles. Comme quoi, l’angle est bien mystérieux.
Il y a un truc que je n’ai pas encore très bien saisi, c’est ce qu’est un moment angulaire. De même, l’orientabilité, en topologie, reste un peu floue. Mais bon, ca viendra, je ne suis pas pressée !
C’est fini. Merci C* de m’avoir lue jusqu’au bout. Et tiens, juste pour rétablir la symétrie : moi aussi, parfois, je ne t’aime pas du tout.
Je t’embrasse.
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